Ejercicio Nº 3 de TEOREMA DE BAYES

La compañia "compre mas", efectúa  una encuesta del mercado para evaluar la lucratividad de cada uno de sus nuevos productos. Encuestas anteriores indican que el 90% de los nuevos productos debieran resultar lucrativos; sin embargo, un análisis posterior de la confiabilidad de las encuestas ha demostrado que sólo el 70% de los productos que se pronosticaban como lucrativos, lo fueron efectivamente. En contraste, de los productos pronosticados como no lucrativos por las encuestas, el 20% resultó ser lucrativo. La compañia ha comercializado un nuevo producto llamado x. Dado que x resultó lucrativo. ¿Cuál es la probabilidad que la encuesta haya pronosticado a x como no lucrativo?

SOLUCION

Sean los eventos:

P : "El producto x fue pronosticado como lucrativo"
L: "El producto x resultó lucrativo"

P(L) = (0.90)(0.70) + (0.10)(0.20)

P(L) = 0.65

Aplicando el teorema de Bayes, calculamos la probabilidad que la encuesta haya pronosticado a x como no lucrativo

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Ejercicio Nº 2 de TEOREMA DE BAYES

En una linea de producción hay dos procesos A y B. En el proceso A hay un 20% de defectuosos y en B hay 25%. En una muestra de 300 productos hay 200 del proceso A y 100 del B.
Hallar
a) Si se extrae un producto al azar, hallar la probabilidad que sea defectuoso.
b) Si al extraer el producto resultó defectuoso, halle la probabilidad de que sea del proceso A.

SOLUCIÓN

Sean los siguientes eventos:

A: "el producto es del proceso A"
B: "el producto es del proceso B"
D: "el producto es defectuoso"

a) La probabilidad de que sea defectuoso P(D) queda graficada de la siguiente forma

P (D) = P (AD) + P (BD)

P (D) = (200/300) (0.20) + (100/300)(0.25)

P (D) =  0.22

b) Por el teorema de Bayes se tiene:

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Ejercicio Nº 1 de TEOREMA DE BAYES

Una compañia de desarrollo urbano está considerando la posibilidad de construir un centro comercial en un sector de la Capital. Un elemento vital en esta consideración es un proyecto de una autopista que une este sector con el centro de la ciudad. Si el consejo municipal aprueba esta autopista, hay una probabilidad de 0.90 de que la compañia construya el centro comercial en tanto que si la autopista no es aprobada la probabilidad es de solo 0.20, Basándose en la información disponible, el presidente de la compañia estima que hay una probabilidad de 0.60 que la autopista sea aprobada.
Se pide:
a) ¿Cuál es la probabilidad que la compañia construya el centro comercial?
b) Dado que el centro comercial  fué construido. ¿Cuál es la probabilidad de que la autopista haya sido aprobada?.

SOLUCIÓN

Definimos los eventos:
A: "la autopista es aprobada"
B: "el centro comercial es construido"

a) Debemos calcular P(B), quedando la distribución de la siguiente manera

P(B) = (0.60) (0.90) + (0.40) (0.20)

P(B) = 0.54 + 0.08

P(B) = 0.62

b) La probabilidad de que la autopista haya sido aprobada. dado que el centro comercial fue construido

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Ejercicio resuelto Nº1 de pruebas de hipótesis.

Se somete a prueba a la totalidad de los integrantes del magisterio para enseñanza básica primaria de un país y un experto en educación afirma que el promedio de la calificación, sobre una base de 100, fue de 76. Un representante del alto gobierno pone en duda dicha afirmación, por lo cual se toma una muestra aleatoria de 400 maestros cuya media fue de 74 con desviación estandar de 16. Probar la hipótesis con un nivel de significación del 1%.

Solución.

Datos:
  ;     ;  x(media)= 74  ;   (desviación estandar de la población)=16

Paso 1: Contraste de hipótesis.
                  Ho :  = 76  (Hipótesis nula)
                  Ha :    76 (Hipótesis alternativa)

Paso2:  Nivel de significancia.
              = 0.01

Paso3: Función Pivotal (Fórmula)

                            
Paso 4: Punto crítico.



Paso 5: Decisión.



Paso 6: Conclusión.
Se acepta la Ho y se rechaza la Ha.



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Ejercicio resuelto de Estadística Nº 2

Supongamos que el jefe de ventas investiga los precios (en miles $) de cierto artículo en 40 almacenes diferentes y encuentra los siguientes datos:

76	85	80	88	74	65	91	89
76	83	71	70	86	67	68	73
77	71	75	75	68	74	72	75
84	75	75	73	87	68	79	70
72	63	77	89	60	72	83	88

Se pide elaborar una tabla de frecuencias para esta variable continua.

1. Hallamos los máximos y mínimos, en este caso

 Máximo: 91

 Mínimo: 60

2. Rango: 91- 60 = 31

3.Número de intervalos (m) = Si son más de 30 datos aplicamos esta fórmula : m= 2.5x   , entonces aplicandolo a nuestro caso seria: m= 2.5x = 6.29= 7

4. La Amplitud(c) lo calculamos dividiendo el rango entre el número de intervalos: 31/7=4.42 = 5

5. Como el número de intervalos es impar entonces repartimos 4 y 3, osea los intervalos comenzarían desde 56 ya que el mínimo número es 60 . Entonces quedaría así.

(Li	Ls]	Xi	ni	Ni	hi	Hi
56	61	58,5	1	1	0,025	0,025
61	66	63,5	2	3	0,05	0,075
66	71	68,5	8	11	0,2	0,275
71	76	73,5	14	25	0,35	0,625
76	81	78,5	4	29	0,1	0,725
81	86	83,5	5	34	0,125	0,85
86	91	88,5	6	40	0,15	1
	Total		40		1

Donde:

Li: Límite inferior.

Ls: Límite superior.

Xi: marca de clase (Li+Ls)/2

ni: variable absoluta simple.
Ni: Variable absoluta acumulada.
hi: Variable relativa simple. (ni/n)
Hi: Variable relativa acumulada.

Ejercicio resuelto de Estadística Nº1

El jefe de personal d una empresa encontró que el número de días que los 50 empleados habían tomado  por incapacidad médica era:

1	20	9	7	15	9	6	10	22	2
22	10	3	2	3	10	10	3	6	25
9	10	6	5	3	22	9	1	5	10
10	9	9	25	9	25	5	3	6	9
7	16	4	15	25	5	9	10	3	6

Tomando como variable días de incapacidad (enteros) elaborar una tabla de frecuencias 

Solución.

1. Hallamos los máximos y mínimos, en este caso

 Máximo: 25

 Mínimo: 1

2. Rango: 25-1 = 24

3.Número de intervalos (m) = Si son más de 30 datos aplicamos esta fórmula : m= 2.5x   , entonces aplicandolo a nuestro caso seria: m= 2.5x = 6.64= 7
4. La Amplitud(c) lo calculamos dividiendo el rango entre el número de intervalos: 24/7= 3.43 = 4
5. Como el número de intervalos es impar entonces repartimos 4 y 3, osea los intervalos comenzarían desde 0 ya que el mínimo número es 1 (no podemos restar 1-4). Entonces quedaría así.

(Li	Ls]	xi	ni	Ni	hi	Hi
0	4	2	11	11	0,22	0,22
4	8	6	11	22	0,22	0,44
8	12	10	17	39	0,34	0,78
12	16	14	3	42	0,06	0,84
16	20	18	1	43	0,02	0,86
20	24	22	3	46	0,06	0,92
24	28	26	4	50	0,08	1,00
Total			50		1,00

Donde:

Li: Límite inferior.

Ls: Límite superior.

Xi: marca de clase (Li+Ls)/2

ni: variable absoluta simple.
Ni: Variable absoluta acumulada.
hi: Variable relativa simple. (ni/n)
Hi: Variable relativa acumulada.

NOTA: para elaborar este cuadro hice uso del programa SPSS Statistics.