Ejercicios Resueltos: Ejercicio de función de producción

Un productor posee 10 hectáreas de tierra cultivable que las dedica íntegramente a la producción de papa. La función de producción de las 10 hectáreas juntas para una campaña agrícola es:

$Q= \frac{100 L^{3}}{60} - \frac{1}{80}L^{4}$

Siendo: Q= Producto expresado en kilogramos de papa/campaña.

L= Trabajo, expresado en jornales/semana.

el productor posee el stock adecuado de semillas, fertilizantes, pesticidas y herbicidas para la explotación de las 10 hectáreas de tierra. El precio pagado al productor por los acopiadores es de $0.30 por kilogramo (para cualquier cantidad de papa comprada) y la función de costo total del productor es:

$CT = 130000 - Q + \frac{1}{400000} Q^{2}$

a) Calcule la cantidad de trabajo (L) con la que se maximiza el producto total (Q) y el nivel máximo del producto total.

b) Calcule el nivel de producción con el que se maximiza el beneficio del productor y el beneficio máximo que puede obtener.

DESARROLLO.

a) Para calcular la cantidad de trabajo (L) con la cual se maximiza el producto total (Q), la primera derivada de la función de producción se iguala a cero (condición necesaria de maximización):

Siendo la función de producción :

$Q= \frac{100 L^{3}}{60} - \frac{1}{80}L^{4}$

La primera derivada de la función de producción es:

$\frac{dQ}{dL}= \frac{300 L^{2}}{60}- \frac{4 L^{2}}{80}$

Igualando a cero :

$\frac{dQ}{dL}= \frac{300 L^{2}}{60}- \frac{4 L^{2}}{80} = 0$

Se obtiene: L= 100 jornales/semana

Para corroborrar que con L= 100 jornales/semana se maximiza Q, la segunda derivada de la función de producción debe ser negativa (condición suficiente de maximización):

Siendo la segunda derivada de la función de producción:

$\frac{d(dQ/dL))}{dL}= \frac{d}{dL}\left ( \frac{300 L^{2}}{60}- \frac{4L^{3}}{80} \right )= 10L - 0.15 L^{2}$

Se reemplaza el valor de L = 100 jornales/semana en la segunda derivada:

$\frac{d(dQ/dL))}{dL}= 10(100) - 0.15 (100)^{2}= -500$

Siendo la segunda derivada un valor negativo (-500), se concluye que se maximiza el producto total (Q) cuando se contrata L = 100 jornales /semana.

Reemplazando el valor de L= 100 jornales /semana en la función de producción, se obtiene el nivel máximo total:

$Q_{MAX}= \frac{100L^{3}}{60}- \frac{1}{80}L^{4} = \frac{100(100)^{3}}{60}- \frac{1}{80}(100)^{4}= 1 666 667 - 1 250 000$

$Q_{MAX}$ = 416 667 kilogramos de papa/campaña.

b) El beneficio (Bc) que obtiene el productor es la diferencia del ingreso total (IT) que percibe y el costo total (CT) en que incurre, es decir: IT- CT

Siendo:

- Ingreso Total =IT=PQ

- Costo Total (CT):

$CT = 130000 - Q + \frac{1}{400000} Q^{2}$

- Precio de la papa pagado al productor = P = $0.30 / Kg.

Por lo tanto:

$Bc = (P.Q)-(130000 - Q + \frac{1}{400000} Q^{2})$

Para determinar el nivel de producción (Q) con el cual se maximiza el beneficio del productor (Bc), la primera derivada de la función del beneficio se iguala a cero (condición necesaria de maximización):

La primera derivada de la función de beneficio es:

$\frac{d(Bc)}{dQ} =\frac{d}{dQ} \left [ (P.Q)-(130000 - Q + \frac{1}{400000} Q^{2}) \right ]= P + 1 - \frac{2}{400000}Q)$

Igualando a cero la primera derivada de la función del beneficio y reemplazando el valor de P = $0.30Kg (dato del problema) y dejando espacio Q, tenemos:

$0.3+1-\frac{2}{400000}Q = 0 \Rightarrow \frac{(1.3)(400000)}{2}= Q$

Q = 260 000 kilogramos de papa/campaña.

NOTA: Más ejercicios de Economía Aqui

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Ejercicios Resueltos

21 jun 2012

Ejercicio de función de producción

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